Ways!

異なるn個の元 (element) からなる有限集合 (finite set) の中からr個を選ぶ順列 (permutation) や組み合わせ (combination) の総数 (number of ways) を計算します。

場合の数の計算

項目	結果
組合せ
重複組合せ
順列
重複順列
円順列
数珠順列
完全順列
階乗 `n`!
二重階乗`n`‼
中心二項係数
カタラン数

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使用方法

nとr (n≥r≥0) に999以下の自然数 (natural number) を入力してから、[計算]ボタンをクリックします。
算出する項目の意味は次の通りです。

組合せ (combination) _nC_r

異なるn個の中からr個を重複なく選んだときの組合せの数。(x+y)ⁿの展開におけるx^n-ry^rの係数である二項係数 (binomial coefficients) と同じ

重複組合せ (combination with repetition) _nH_r

異なるn個の中からr個を重複を許して選んだときの組合せの数

順列 (permutation) _nP_r

異なるn個の中からr個を重複なく選んで並べたときの場合の数

重複順列 (permutation with repetition) _nΠ_r

異なるn個の中からr個を重複を許して並べたときの場合の数

円順列 (circular permutation) cir(n,r)

異なるn個の中からr個を重複なく選んで円形に並べたときの場合の数

数珠順列 (necklace problem) neck(n,r)

円順列のうち、裏返して一致するものを同じとみなしたときの場合の数

完全順列 (complete permutations)・攪乱順列 (derangement) D_n

1からnまでの自然数を要素とする順列において、i番目 (i≤n) がiでない順列

階乗 (factorial) n!

1からnまでの全ての自然数の積

二重階乗 (double factorial) n‼

1からnまでnと同じ偶奇性 (parity) を持つ自然数の積

中心二項係数 (central binomial coefficient) _2nC_n

パスカルの三角形 (Pascal's triangle) の奇数行の真ん中の値

カタラン数 (Catalan number) c_n

中心二項係数をn+1で除した値で、ノード (node) 数nの二分木 (binary tree) の総数、n-1段の階段状格子路の最短経路、凸n+2角形 (convex n+2 polygon) の三角形分割、n組の括弧付けなどの数え上げに登場する数

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利用上の注意

Microsoft Edge、Internet Exploler 11、FireFox 45.0以降での動作を確認しています。
その他のブラウザでの動作は保証いたしません。
計算結果が9007199254740991 (=2⁵³−1) より大きいときは指数表現の近似値になります。
計算結果が1.7976931348623157×10³⁰⁸ (≈2¹⁰²⁴) 以上のときは"Infinity"と表示します。
円順列ではn≥r>0、数珠順列ではn≥r≥3である必要があります。
完全順列、階乗、二重階乗、中心二項係数、カタラン数の計算ではrの値は使用しません。
サポートは一切行いません。
気が向いたときに改良や修正をします。

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アルゴリズム

各値は次式で算出しています。

階乗: $n! = \prod_{k = 1}^{n} k = n \times (n - 1) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$
二重階乗: $n!! = \prod_{k = 0}^{⌈ n / 2 ⌉ - 1} (n - 2 k) = {\begin{cases} n \times (n - 2) \times \dots \times 4 \times 2 & (n:even) \\ n \times (n - 2) \times \dots \times 3 \times 1 & (n:odd) \end{cases}$
順列: ${}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1)$
組合せ: ${}_{n}C_{r} = \frac{{}_{n}P_{r}}{r!} = \frac{n!}{r! (n - r)!} = \frac{n}{1} \times \frac{n - 1}{2} \times \dots \times \frac{n - r + 1}{r}$
重複組合せ: ${}_{n}H_{r} = {}_{n + r - 1}C_{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r! (n - 1)!}$
重複順列: ${}_{n}Π_{r} = n^{r} = n \times n \times \dots \times n$
円順列: $cir (n, r) = \frac{{}_{n}P_{r}}{r} = \frac{n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)}{r}$
数珠順列: $neck (n, r) = \frac{cir (n, r)}{2} = \frac{{}_{n}P_{r}}{2 r} = \frac{n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)}{2 r}$
完全順列: ${\begin{cases} D_{1} = 0, D_{2} = 1 \\ D_{n} = (n - 1) \times (D_{n - 1} + D_{n - 2}) & (n≥3) \end{cases}$
中心二項係数: ${}_{2 n}C_{n} = \frac{(2 n)!}{{(n!)}^{2}}$
カタラン数: $c_{n} = \frac{{}_{2 n}C_{n}}{n + 1} = \frac{(2 n)!}{n! (n + 1)!}$

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